Chứng minh rằng a/b = c/d nếu

Để chứng minh rằng a/b = c/d, ta cần chứng minh rằng a/b và c/d thỏa mãn cả hai điều kiện a/c = a+b/c+d và b/d = a-b/c-d.

Chứng minh điều kiện a/c = a+b/c+d:
Bắt đầu bằng việc giải phương trình a/c = a+b/c+d:
a/c = a+b/c+d
a(c+d) = c(a+b)
ac+ad = ac+bc
ad = bc

Chứng minh điều kiện b/d = a-b/c-d:
Bắt đầu bằng việc giải phương trình b/d = a-b/c-d:
b/d = a-b/c-d
b(c-d) = d(a-b)
bc-bd = da-db
bc-dc = da-db
bc-dc = d(a-b)
bc-dc = da-db

Từ cả hai điều kiện trên, ta có:
ad = bc và bc-dc = da-db

Ta có thể thấy rằng cả hai điều kiện đều tương đương với nhau. Vì vậy, nếu a/b và c/d thỏa mãn một trong hai điều kiện trên, thì chúng cũng thỏa mãn điều kiện còn lại.

Do đó, ta có thể kết luận rằng a/b = c/d nếu a/c = a+b/c+d và b/d = a-b/c-d.