Để chứng minh biểu thức P = 2x^2 + y^2 - 4x - 4y + 10 luôn nhận giá trị dương với mọi biến x, y, ta cần chứng minh rằng biểu thức này không thể nhận giá trị âm.

Để biểu thức P âm, ta cần có 2x^2 + y^2 - 4x - 4y + 10 < 0.

Chúng ta có thể viết lại biểu thức P thành: P = (2x^2 - 4x) + (y^2 - 4y) + 10.

Để tìm điểm cực tiểu của biểu thức P, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Đối với phần tử (2x^2 - 4x), ta có thể hoàn thành khối vuông bằng cách thêm vào một số hạng (2x - 2)^2 - 4.

Đối với phần tử (y^2 - 4y), ta có thể hoàn thành khối vuông bằng cách thêm vào một số hạng (y - 2)^2 - 4.

Vậy, biểu thức P có thể viết lại thành: P = (2x - 2)^2 - 4 + (y - 2)^2 - 4 + 10.

Biểu thức trên luôn không thể nhận giá trị âm vì các số hạng (2x - 2)^2, (y - 2)^2 và 10 đều không thể nhận giá trị âm.

Vậy, chứng minh rằng biểu thức P = 2x^2 + y^2 - 4x - 4y + 10 luôn nhận giá trị dương với mọi biến x, y.