Cho tam giác ABC có đường cao AH = 5 ; đường phân giác BD = 6, gọi E là giao điểm của AH và BD biết EH = 1 . Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC

Để tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, ta sử dụng định lý Pythagoras và định lý phân giác.

Gọi cạnh AB = c, cạnh BC = a, cạnh AC = b.

Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông, ta có:
AH^2 = AB^2 - BH^2
5^2 = c^2 - (a/2)^2
25 = c^2 - a^2/4
4c^2 - a^2 = 100 (1)

Theo định lý phân giác, ta có:
BD/DC = AB/AC
6/(a - c) = c/b
6b = c(a - c) (2)

Gọi x = a - c, từ đó ta có a = x + c.

Thay a = x + c vào (2), ta có:
6b = c(x + c - c)
6b = cx
b = cx/6 (3)

Thay b = cx/6 vào (1), ta có:
4c^2 - a^2 = 100
4c^2 - (x + c)^2 = 100
4c^2 - x^2 - 2xc - c^2 = 100
3c^2 - 2xc - x^2 = 100 (4)

Từ (3), ta có:
b = cx/6
b^2 = c^2x^2/36 (5)

Thay b^2 = c^2x^2/36 vào (4), ta có:
3c^2 - 2xc - x^2 = 100
3c^2 - 2xc - x^2 = 36c^2x^2/36
108c^2 - 72xc - 36x^2 = 36c^2x^2
36c^2 - 72xc - 36x^2 = 0
c^2 - 2xc - x^2 = 0 (6)

Giải phương trình (6), ta được:
c = (2x ± √(4x^2 + 4x^2))/2
c = (2x ± 2√(2x^2))/2
c = x ± √(2x^2)
c = x ± x√2 (7)

Thay c = x ± x√2 vào (6), ta có:
(x ± x√2)^2 - 2x(x ± x√2) - x^2 = 0
x^2 ± 2x^2√2 + 2x^2 - 2x^2 ± 2x^2√2 - x^2 = 0
x^2√2 = 0

Vì x ≠ 0, nên x = 0.

Từ đó, ta có a = x + c = 0 + c = c và b = cx/6 = 0/6 = 0.

Vậy, tam giác ABC không tồn tại.