Cho tam giác MNP cân tại M (M <90°)

Ta có tam giác MNP cân tại M, vậy PM = PN.
Gọi I là giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác MNP.
Ta có:
- Đường phân giác trong của tam giác MNP cắt MN tại I, vậy MI là đường phân giác của góc M.
- Đường phân giác trong của tam giác MNP cắt NP tại I, vậy NI là đường phân giác của góc N.
Vậy tam giác MIN là tam giác đều.
Do đó, ta có MI = MN = NI.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên MN.
Ta có: DH là đường cao của tam giác MND, vậy tam giác MND vuông tại D.
Vậy MD = √(DM^2 - DH^2) = √(20 - DH^2).
Gọi x là độ dài MH.
Ta có: MN = MI + IN = MI + NI = 2MI = 2x.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác MHD, ta có:
MD^2 = MH^2 + DH^2
(√(20 - DH^2))^2 = x^2 + DH^2
20 - DH^2 = x^2 + DH^2
2DH^2 = 20 - x^2
DH^2 = (20 - x^2)/2
DH = √((20 - x^2)/2)
Vì DH là hình chiếu vuông góc của D lên MN, nên ta có:
DH = DM.cos(MDN) = DM.cos(MDE)
√((20 - x^2)/2) = 2√5.cos(MDE)
(20 - x^2)/2 = 20cos^2(MDE)
20 - x^2 = 40cos^2(MDE)
x^2 = 20 - 40cos^2(MDE)
x^2 = 20 - 40.sin^2(MDE)
x^2 = 20(1 - 2sin^2(MDE))
x^2/20 = 1 - 2sin^2(MDE)
x^2/20 + 2sin^2(MDE) = 1
x^2/20 + 2(1 - cos^2(MDE)) = 1
x^2/20 + 2 - 2cos^2(MDE) = 1
x^2/20 - 2cos^2(MDE) = -1
x^2/20 = 2cos^2(MDE) - 1
x^2/20 = cos(2MDE)
Vậy ta có: x^2/20 = cos(2MDE)
Do đó, tam giác MDE cân (theo định lý cosin).
Và ta đã chứng minh được MN = 2x.