Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và BD gọi P là mặt phẳng đi qua I,J cắt hai cánh AC và AD lần lượt tại M và N

a/ Để chứng minh IJNM là một hình thang, ta cần chứng minh rằng các cạnh đối diện của nó là song song.

Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Ta có:
- Vì I là trung điểm của BC nên I là trung điểm của BE.
- Vì J là trung điểm của BD nên J là trung điểm của DE.

Do đó, ta có IJ // BE và IJ // DE.

Gọi H là giao điểm của MP và IJ. Ta cần chứng minh H là trung điểm của MP.

Vì IJ // BE và IJ // DE, ta có:
∠HIM = ∠HBE (cùng chắn cung HM trên đường tròn (BME))
∠HMI = ∠EBM (cùng chắn cung HM trên đường tròn (BME))

Do đó, tam giác HIM và tam giác BME có hai góc tương đương, từ đó suy ra HI = HE.

Tương tự, ta có HJ = HE.

Vậy, ta có HI = HJ, từ đó suy ra H là trung điểm của IJ.

Do đó, ta có MP // IJ và H là trung điểm của MP, nên IJNM là một hình thang.

b/ Để IJNM là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng MN // IJ và MN = IJ.

Gọi F là trung điểm của cạnh AB. Ta có:
- Vì I là trung điểm của BC nên I là trung điểm của BF.
- Vì J là trung điểm của BD nên J là trung điểm của DF.

Do đó, ta có IJ // BF và IJ // DF.

Gọi K là giao điểm của NF và IJ. Ta cần chứng minh K là trung điểm của NF.

Vì IJ // BF và IJ // DF, ta có:
∠KIN = ∠KBF (cùng chắn cung KN trên đường tròn (BNF))
∠KNI = ∠BKF (cùng chắn cung KN trên đường tròn (BNF))

Do đó, tam giác KIN và tam giác BKF có hai góc tương đương, từ đó suy ra KI = KB.

Tương tự, ta có KJ = KD.

Vậy, ta có KI = KJ, từ đó suy ra K là trung điểm của IJ.

Do đó, ta có NF // IJ và K là trung điểm của NF, nên IJNM là một hình bình hành.