a) Ta có ME vuông góc với AC và MD vuông góc với AB, nên ME // AB và MD // AC. Do đó, ta có:
$\angle MDE = \angle BAC$ (do ME // AB)
$\angle MED = \angle MAC$ (do MD // AC)
Vậy, ta có $\angle MDE = \angle MED$, suy ra tam giác MDE cân tại M.
Từ đó, ta có $AM = DM$, suy ra ADMC là hình thang.

b) Ta có $\angle MDE = \angle MED$ (vì tam giác MDE cân tại M).
Vậy, ta có $\angle MDO = \angle MEO$ (do MD // AC và ME // AB).
Từ đó, ta có $\angle MDO = \angle MEO$, suy ra tam giác MDO đồng dạng với tam giác MEO.
Do đó, ta có $\frac{DO}{EO} = \frac{MD}{ME} = \frac{DM}{EM} = 1$ (vì ADMC là hình thang).
Vậy, ta có DO = EO, suy ra O là trung điểm của DE.

c) Để AM có độ dài nhỏ nhất, ta cần chọn M sao cho AM là đoạn thẳng vuông góc với DE và cắt DE tại trung điểm của DE.
Vì O là trung điểm của DE, nên ta cần chọn M sao cho AM cắt DE tại O.
Do đó, ta chọn M là trung điểm của BC.
Với AB = AC = 4cm, ta có BM = MC = 2cm.
Vậy, diện tích của tam giác MDE là:
$S_{MDE} = \frac{1}{2} \times DE \times OM = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$ (đơn vị diện tích).