Để chứng minh MN // BC, ta sẽ sử dụng định lí về trung điểm.

1) Ta có M là trung điểm của cạnh AB, nên AM = MB.
Tương tự, ta có N là trung điểm của cạnh AC, nên AN = NC.

Giả sử ta vẽ đường thẳng MN, cắt BC tại điểm P.

Theo định lí về trung điểm, ta có MP = PN.

Vì AM = MB và AN = NC, nên ta có:
AM + AN = MB + NC
=> AM + AN = AB + AC
=> AM + AN = MN + MC + MN + NB
=> AM + AN = 2MN + BC
=> 2MP = 2MN + BC
=> MP = MN + BC/2

Tuy nhiên, ta đã có MP = PN, nên ta có:
MN + BC/2 = MN
=> BC/2 = 0
=> BC = 0

Vì BC không thể bằng 0, nên giả thiết ban đầu là sai.
Vậy ta kết luận rằng MN // BC.

2) Ta đã chứng minh MN // BC.
Vì M là trung điểm của AB, nên ta có AM = MB.
Tương tự, ta có N là trung điểm của AC, nên ta có AN = NC.

Vì MN // BC, nên ta có tỉ số đồng dạng:
AM/AB = AN/AC
=> AM/AB = 1/2
=> AM = AB/2

Tương tự, ta có AN = AC/2.

Vậy ta có MN = AM + AN = AB/2 + AC/2 = (AB + AC)/2 = BC/2.

Vậy ta kết luận rằng MN = 1/2 BC.