Để giải bài toán này, ta lần lượt thực hiện các yêu cầu:

### a) Chứng minh \(\triangle ABM \cong \triangle BME\)

- **Cạnh AB = BE** (theo giả thiết, vì \(BE = AB\)).
- **Cạnh AM = ME** (M là trung điểm của AE nên AM = ME).
- **Cạnh BM chung**.

Vì vậy, theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh (CCC), ta có:
\[
\triangle ABM \cong \triangle BME.
\]

### b) Chứng minh KB là tia phân giác của góc AKE

- Từ hai tam giác \(\triangle ABM\) và \(\triangle BME\) đã chứng minh ở phần a, ta có:
\[
\angle AMB = \angle EMB.
\]

- Tia BM cắt cạnh AC tại K. Ta cần chứng minh \( KB\) là tia phân giác của \(\angle AKE\).
- Theo định nghĩa, nếu \(ABM \cong BME\) thì ta có, \(\angle BAK = \angle BEK\).

Do đó, \(KB\) là tia phân giác của \(\angle AKE\).

### c) Chứng minh EK vuông góc với AI

- Gọi I là điểm trên tia đối của tia MB sao cho \(MI = MB\).
- Theo sáng tạo của điểm I, ta có:
\[
ABM \cong BEM \Rightarrow \angle ABE = \angle BEM.
\]
- Do đó, ta có \( \angle AIB = \angle BEM\).

Khi đó, \( \triangle AIB \) có \( AI = AB\) và \( BI = BE\).

- \(\angle AIE = \angle AIB + \angle BIC = \angle BEM + \angle BEM = 2\angle BEM\).
- Vì vậy, \(\angle AIE = 90^\circ\), suy ra \(EK \perp AI\).

Kết luận: Chúng ta đã chứng minh được cả ba yêu cầu của bài toán.