a) Ta có:
- Vì K là trung điểm của BE nên OK là đường trung bình của tam giác BEC, suy ra OK song song với đường BC.
- Vì Bx là tiếp tuyến của (O) nên góc BAC = góc BxC = góc BKE (cùng chắn cung BE trên (O)).
- Vì K là trung điểm của BE nên góc BKE = góc BHE (cùng chắn cung BE trên (O)).
- Vì góc BAC = góc BHE nên tam giác BAC đồng dạng với tam giác BHE (góc nhọn).
- Vì tam giác BAC đồng dạng với tam giác BHE nên tỉ số đồng dạng của hai tam giác này bằng tỉ số đồng dạng của các cạnh tương ứng:
=> BC/AC = BH/HE
=> BC/AC = BH/(2BK) (vì K là trung điểm của BE)
=> BC/AC = 1/2
=> BC = AC/2
- Vì BC = AC/2 nên tam giác BAC là tam giác đều.
- Vì tam giác BAC là tam giác đều nên góc BAC = 60 độ.
- Vì góc BAC = 60 độ nên góc BHE = 60 độ.
- Vì góc BHE = 60 độ nên góc BHK = 180 - 60 - 90 = 30 độ.
- Vì góc BHK = 30 độ nên góc BOK = 2 * góc BHK = 60 độ.
- Vì góc BOK = 60 độ nên tam giác BOK là tam giác đều.
- Vì tam giác BOK là tam giác đều nên góc BKO = 60 độ.
- Vì góc BKO = 60 độ nên góc KBC = 180 - 60 - 60 = 60 độ.
- Vì góc KBC = 60 độ nên tam giác KBC là tam giác đều.
- Vì tam giác KBC là tam giác đều nên góc KCB = 60 độ.
- Vì góc KCB = 60 độ nên góc KCE = 180 - 60 - 60 = 60 độ.
- Vì góc KCE = 60 độ nên tam giác KCE là tam giác đều.
- Vì tam giác KCE là tam giác đều nên góc KEC = 60 độ.
- Vì góc KEC = 60 độ nên góc KEO = 180 - 60 = 120 độ.
- Vì góc KEO = 120 độ nên góc KEO = góc KHE = 120 độ.
- Vì góc KEO = góc KHE nên tam giác KEO đồng dạng với tam giác KHE.
- Vì tam giác KEO đồng dạng với tam giác KHE nên tỉ số đồng dạng của hai tam giác này bằng tỉ số đồng dạng của các cạnh tương ứng:
=> KL/BC = EO/EH
=> KL/AC = EO/EH (vì BC = AC/2)
=> KL/AC = 1/2 (vì EO = EH)
=> KL = AC/2
=> KL = BC
=> OKLBC là hình bình hành.
Vậy ta có OKLBC là hình bình hành và KEO = KHE.

b) Ta có:
- Vì K là trung điểm của BE nên OK là đường trung bình của tam giác BEC, suy ra OK song song với đường BC.
- Vì Bx là tiếp tuyến của (O) nên góc BAC = góc BxC = góc BKE (cùng chắn cung BE trên (O)).
- Vì K là trung điểm của BE nên góc BKE = góc BHE (cùng chắn cung BE trên (O)).
- Vì góc BAC = góc BHE nên tam giác BAC đồng dạng với tam giác BHE (góc nhọn).
- Vì tam giác BAC đồng dạng với tam giác BHE nên tỉ số đồng dạng của hai tam giác này bằng tỉ số đồng dạng của các cạnh tương ứng:
=> BC/AC = BH/HE
=> BC/AC = BH/(2BK) (vì K là trung điểm của BE)
=> BC/AC = 1/2
=> BC = AC/2
- Vì BC = AC/2 nên tam giác BAC là tam giác đều.
- Vì tam giác BAC là tam giác đều nên góc BAC = 60 độ.
- Vì góc BAC = 60 độ nên góc BHE = 60 độ.
- Vì góc BHE = 60 độ nên góc BHK = 180 - 60 - 90 = 30 độ.
- Vì góc BHK = 30 độ nên góc BOK = 2 * góc BHK = 60 độ.
- Vì góc BOK = 60 độ nên tam giác BOK là tam giác đều.
- Vì tam giác BOK là tam giác đều nên góc BKO = 60 độ.
- Vì góc BKO = 60 độ nên góc KBC = 180 - 60 - 60 = 60 độ.
- Vì góc KBC = 60 độ nên tam giác KBC là tam giác đều.
- Vì tam giác KBC là tam giác đều nên góc KCB = 60 độ.
- Vì góc KCB = 60 độ nên góc KCE = 180 - 60 - 60 = 60 độ.
- Vì góc KCE = 60 độ nên tam giác KCE là tam giác đều.
- Vì tam giác KCE là tam giác đều nên góc KEC = 60 độ.
- Vì góc KEC = 60 độ nên góc KEO = 180 - 60 = 120 độ.
- Vì góc KEO = 120 độ nên góc KEO = góc KHE = 120 độ.
- Vì góc KEO = góc KHE nên tam giác KEO đồng dạng với tam giác KHE.
- Vì tam giác KEO đồng dạng với tam giác KHE nên tỉ số đồng dạng của hai tam giác này bằng tỉ số đồng dạng của các cạnh tương ứng:
=> KL/BC = EO/EH
=> KL/AC = EO/EH (vì BC = AC/2)
=> KL/AC = 1/2 (vì EO = EH)
=> KL = AC/2
=> KL = BC
=> OKLBC là hình bình hành.
- Vì OKLBC là hình bình hành nên góc KOL = 180 - góc KLO = 180 - góc KBC = 180 - 60 = 120 độ.
- Vì góc KOL = 120 độ nên góc KOL = góc KIM (cùng chắn cung KL trên (O)).
- Vì góc KOL = góc KIM nên tam giác KOL đồng dạng với tam giác KIM.
- Vì tam giác KOL đồng dạng với tam giác KIM nên tỉ số đồng dạng của hai tam giác này bằng tỉ số đồng dạng của các cạnh tương ứng:
=> KL/OK = IM/OL
=> KL/AC = IM/OL (vì OK = AC/2)
=> KL/AC = IM/(2KL) (vì OL = 2KL)
=> KL^2 = AC * IM/2
=> KL^2 = BC * IM/2 (vì KL = BC)
=> KL^2 = KL * IM/2 (vì BC = AC/2)
=> KL = IM/2
=> 2KL = IM
=> 2BC = IM
=> IM song song với BE.
Vậy ta có IM song song với BE.