Để chứng minh rằng P(-1). P(3) ≥ 0, ta sẽ sử dụng giả thiết 2a + b = 0 để tìm giá trị của a và b.

Với 2a + b = 0, ta có b = -2a.

Thay b = -2a vào đa thức P(x), ta có:
P(x) = ax^2 - 2ax + c

Để chứng minh rằng P(-1). P(3) ≥ 0, ta sẽ tính giá trị của P(-1) và P(3) và kiểm tra dấu của tích P(-1). P(3).

P(-1) = a(-1)^2 - 2a(-1) + c = a + 2a + c = 3a + c
P(3) = a(3)^2 - 2a(3) + c = 9a - 6a + c = 3a + c

Vì P(-1) = P(3) = 3a + c, nên tích P(-1). P(3) = (3a + c)^2.

Để chứng minh rằng P(-1). P(3) ≥ 0, ta sẽ chứng minh rằng (3a + c)^2 ≥ 0.

Vì (3a + c)^2 là bình phương của một số thực, nên nó luôn không âm (không nhỏ hơn 0).

Vì vậy, ta có P(-1). P(3) ≥ 0.