Để chứng minh rằng phương trình 1/x + 1/y + 1/z = 1/2010 chỉ có hữu hạn nghiệm tự nhiên, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử tồn tại một bộ số nguyên dương (x, y, z) là nghiệm của phương trình. Ta có:

1/x + 1/y + 1/z = 1/2010

Đặt a = 1/x, b = 1/y, c = 1/z, ta có:

a + b + c = 1/2010

Vì a, b, c đều là số dương, nên ta có:

a + b + c > 0

Từ đó suy ra:

1/2010 > 0

Điều này là đúng vì 2010 là một số dương.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng a, b, c đều nhỏ hơn 1/2010.

Giả sử a ≥ 1/2010, ta có:

a + b + c ≥ 1/2010 + b + c

Vì a + b + c = 1/2010, nên ta có:

1/2010 + b + c ≥ 1/2010 + b + c

Từ đó suy ra:

1/2010 + b + c ≥ 1/2010 + b + c

Điều này là không đúng vì a ≥ 1/2010.

Tương tự, ta có b < 1/2010 và c < 1/2010.

Từ đó suy ra:

a, b, c ∈ (0, 1/2010)

Vậy ta có một tập hợp hữu hạn các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện trên.

Do đó, phương trình 1/x + 1/y + 1/z = 1/2010 chỉ có hữu hạn nghiệm tự nhiên.