a, Ta có AM = MB (do M là trung điểm của AB) và AN = NC (do N là trung điểm của AC). Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có góc BAC = 90 độ. Từ đó, ta có góc MAN = góc BAC = 90 độ. Do đó, ta có ANEB là hình thang vuông.

b, Ta đã chứng minh được ANEB là hình thang vuông. Vì đường cao của hình thang vuông là đường trung bình cộng của hai đáy, nên ta có AM = NE. Từ đó, ta có ANEM là hình chữ nhật.

c, Ta đã chứng minh được ANEM là hình chữ nhật. Khi đó, ta có AM = NE và BM = NC. Vì M là trung điểm của AB và F là giao điểm của đường thẳng song song BN với đường thẳng EN, nên ta có MF = NE và FM = BM. Từ đó, ta có MF = FM = NE = AM. Do đó, tứ giác AFCE là hình thoi.