Cho tứ diện ABCD. M là một điểm trên AB, sao cho 3AM = 4BM. G trọng tâm tam giác ABC

1. Để tìm thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng MNG trong miền trong tam giác BCD, ta cần xác định vị trí của điểm N trên cạnh CD.

Gọi H là trung điểm của cạnh CD. Ta có MH là đường trung bình của tam giác AMB, nên MH song song với AB và MH = 1/2AB. Vì vậy, ta có MH = 1/2AB = 1/2(3AM) = 3/2AM.

Do đó, ta có MH = 3/2AM = 3/2(4BM) = 6BM.

Vì M là trung điểm của AB, nên BM = AM. Vậy, ta có MH = 6BM = 6AM.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, nên GH là đường trung bình của tam giác BCD. Vì vậy, GH song song với CD và GH = 2/3CH.

Vì MH = 6AM và GH = 2/3CH, nên ta có MH/GH = 6AM/(2/3CH) = 9AM/CH.

Vì MH song song với AB và GH song song với CD, nên mặt phẳng MNG song song với mặt phẳng ABC và mặt phẳng BCD.

Vậy, thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng MNG trong miền trong tam giác BCD là một hình chữ nhật có chiều dài là 9AM và chiều rộng là CH.

2. Để tìm thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng MNG trong miền trong tam giác ACD, ta cần xác định vị trí của điểm N trên cạnh CD.

Vì M là trung điểm của AB, nên BM = AM. Vậy, ta có 3AM = 4BM = 4AM, từ đó suy ra AM = 0 và BM = 0.

Vì vậy, M trùng với A và B, nên mặt phẳng MNG trùng với mặt phẳng ACD.

Vậy, thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng MNG trong miền trong tam giác ACD là một hình tam giác ACD.