Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Bước 1: Kiểm tra đúng với n = 1
Khi n = 1, ta có:
6^(2n) + 19^n - 2^(n+1) = 6^2 + 19 - 2^2 = 36 + 19 - 4 = 51
Vì 51 chia hết cho 17, nên đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là:
6^(2k) + 19^k - 2^(k+1) chia hết cho 17.

Bước 3: Chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là:
6^(2(k+1)) + 19^(k+1) - 2^((k+1)+1) chia hết cho 17.

Ta có:
6^(2(k+1)) + 19^(k+1) - 2^((k+1)+1) = 6^(2k+2) + 19^(k+1) - 2^(k+2)
= 6^2 * 6^(2k) + 19 * 19^k - 2^2 * 2^k
= (36 * 6^(2k)) + (19 * 19^k) - (4 * 2^k)

Vì 6^(2k) + 19^k - 2^(k+1) chia hết cho 17 (theo giả thiết quy nạp), nên ta có:
(36 * 6^(2k)) + (19 * 19^k) - (4 * 2^k) chia hết cho 17.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1.

Vậy, theo nguyên lý quy nạp, ta có thể chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, đẳng thức 6^(2n) + 19^n - 2^(n+1) chia hết cho 17.