Chứng minh rằng nếu n không chia hết cho 3 thì 3^(2n) + 3^n + 1 chia hết cho 13

Để chứng minh rằng nếu n không chia hết cho 3 thì 3^(2n) + 3^n + 1 chia hết cho 13, ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ.

Theo định lý Fermat nhỏ, nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Trong trường hợp này, chúng ta sẽ chứng minh rằng 3^6 ≡ 1 (mod 13).

Ta có:
3^6 = 729 = 72 * 10 + 9 = 12 * 60 + 9 = 9 (mod 13)

Vì vậy, 3^6 ≡ 1 (mod 13).

Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu n không chia hết cho 3, thì 3^(2n) + 3^n + 1 chia hết cho 13.

Giả sử n không chia hết cho 3, tức là n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 với k là số nguyên.

Nếu n = 3k + 1, ta có:
3^(2n) + 3^n + 1 = 3^(2(3k + 1)) + 3^(3k + 1) + 1 = 3^(6k + 2) + 3^(3k + 1) + 1

Vì 6k + 2 chia hết cho 6, nên ta có:
3^(6k + 2) ≡ 1 (mod 13)

Vì 3k + 1 chia hết cho 3, nên ta có:
3^(3k + 1) ≡ 3 (mod 13)

Do đó:
3^(6k + 2) + 3^(3k + 1) + 1 ≡ 1 + 3 + 1 ≡ 5 (mod 13)

Vì vậy, nếu n = 3k + 1, thì 3^(2n) + 3^n + 1 chia hết cho 13.

Tương tự, nếu n = 3k + 2, ta cũng có:
3^(2n) + 3^n + 1 ≡ 5 (mod 13)

Vậy, ta đã chứng minh rằng nếu n không chia hết cho 3, thì 3^(2n) + 3^n + 1 chia hết cho 13.