Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có 3 ^ 2 ^(4n + 1)+2 chia hết cho 11

Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Bước 1: Kiểm tra với n = 1
Khi n = 1, ta có: 3^(2^(4*1 + 1)) + 2 = 3^(2^5) + 2 = 3^32 + 2.
Ta biết rằng 3^5 ≡ 1 (mod 11) (do 3^5 = 243 ≡ 1 (mod 11)).
Vậy 3^32 ≡ (3^5)^6 ≡ 1^6 ≡ 1 (mod 11).
Do đó, 3^32 + 2 ≡ 1 + 2 ≡ 3 (mod 11).
Vì 3 ≡ 0 (mod 11), nên ta có 3^32 + 2 ≡ 0 (mod 11).
Vậy đẳng thức đã được chứng minh đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đã được chứng minh đúng với n = k, tức là 3^(2^(4k + 1)) + 2 ≡ 0 (mod 11).

Bước 3: Chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1.
Khi n = k + 1, ta có: 3^(2^(4(k + 1) + 1)) + 2 = 3^(2^(4k + 5)) + 2.
Ta biết rằng 3^5 ≡ 1 (mod 11) (do 3^5 = 243 ≡ 1 (mod 11)).
Vậy 3^(2^(4k + 5)) ≡ (3^5)^(2^(4k + 1)) ≡ 1^(2^(4k + 1)) ≡ 1 (mod 11).
Do đó, 3^(2^(4(k + 1) + 1)) + 2 ≡ 1 + 2 ≡ 3 (mod 11).
Vì 3 ≡ 0 (mod 11), nên ta có 3^(2^(4(k + 1) + 1)) + 2 ≡ 0 (mod 11).
Vậy đẳng thức cũng đúng với n = k + 1.

Vậy theo nguyên lý quy nạp, đẳng thức đã được chứng minh đúng với mọi số tự nhiên n.