Để chứng minh BN + CM = BC, ta sẽ sử dụng định lí phân giác trong tam giác.

Gọi P là giao điểm của BM và CN.

Ta có: Góc BPC = 180° - góc BPN - góc CPN
= 180° - (góc ABM + góc CBM) - (góc ACN + góc BCN)
= 180° - (góc ABM + góc ACN) - (góc CBM + góc BCN)
= 180° - (góc ABM + góc ACN) - (góc ABM + góc ACN)
= 180° - 2(góc ABM + góc ACN)

Vì BM là tia phân giác của góc B nên góc ABM = góc CBM
Vì CN là tia phân giác của góc C nên góc ACN = góc BCN

Do đó, góc BPC = 180° - 2(góc ABM + góc ACN) = 180° - 2(50°) = 80°

Vậy, góc BPC = 80°.

Ta có: góc BPC + góc BPN + góc CPN = 180° (tổng các góc trong tam giác)
80° + góc BPN + góc CPN = 180°
góc BPN + góc CPN = 100°

Vì BM là tia phân giác của góc B nên góc BPN = góc ABM
Vì CN là tia phân giác của góc C nên góc CPN = góc ACN

Do đó, góc BPN + góc CPN = góc ABM + góc ACN = góc BAC = góc A = 50°

Vậy, góc BPN + góc CPN = 50°.

Từ đó, ta có hệ phương trình:
góc BPN + góc CPN = 50°
góc BPN + góc CPN = 100°

Giải hệ phương trình trên, ta được góc BPN = 30° và góc CPN = 70°.

Áp dụng định lí phân giác trong tam giác BPN, ta có:
BN/AB = BP/AP
BN/AB = BP/(BP + AP)
BN/AB = BP/BC (vì AP = BC)

Tương tự, áp dụng định lí phân giác trong tam giác CPN, ta có:
CM/AC = CP/AP
CM/AC = CP/(CP + AP)
CM/AC = CP/BC (vì AP = BC)

Do đó, ta có:
BN/AB = CM/AC

Từ đó, ta có:
BN/AB + CM/AC = 1
BN/AB + CM/AB = AB/AB (vì AB = AC)
(BN + CM)/AB = 1
BN + CM = AB

Vậy, BN + CM = BC.