Bài tập Hình học 9

Để chứng minh các phát biểu trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của đường tròn và tiếp tuyến.

1. Chứng minh OM vuông góc AB:
Ta có: OM là đường phân giác góc MOB (do OM là đường phân giác của tam giác MOB) và AB là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm B (do AB là tiếp tuyến nên góc MOB = góc BAO).
Vậy góc MOB = góc BAO, suy ra OM vuông góc AB.

2. Chứng minh OH.OM = r^2:
Ta có: OH là đường cao của tam giác OAB (do OH vuông góc AB) và OM là đường trung bình của tam giác OAB (do M là trung điểm của AB).
Vậy OH.OM = 1/2 * AB * OH = 1/2 * 2r * r = r^2.

3. Chứng minh 4 điểm A, M, O, C thuộc 1 đường tròn:
Ta có: OM vuông góc AB (đã chứng minh ở bước 1) và OH.OM = r^2 (đã chứng minh ở bước 2).
Vậy tam giác OMA vuông tại O và có OH.OM = r^2, suy ra 4 điểm A, M, O, C thuộc 1 đường tròn.

4. Tìm tâm của đường tròn đi qua 4 điểm A, M, O, C:
Gọi tâm đường tròn là T.
Ta có: OT vuông góc AM (do OT là đường phân giác góc AOM) và OT = TM (do T là tâm đường tròn).
Vậy tam giác OTM vuông tại O và có OT = TM, suy ra T nằm trên đường trung bình của tam giác OTM.
Vậy tâm của đường tròn đi qua 4 điểm A, M, O, C là trung điểm của đoạn thẳng OT.

5. Tìm diện tích tam giác MEF nhỏ nhất:
Để tìm diện tích tam giác MEF nhỏ nhất, ta cần tìm vị trí của điểm M.
Gọi N là giao điểm của đường thẳng OD với đường tròn (O).
Ta có: ON vuông góc DM (do OD vuông góc DM) và ON = ND (do N là trung điểm của DM).
Vậy tam giác OND vuông tại O và có ON = ND, suy ra tam giác OND là tam giác đều.
Vậy OM = ON = ND = r (với r là bán kính đường tròn).
Do đó, để diện tích tam giác MEF nhỏ nhất, điểm M cần nằm trên đường tròn (O) với bán kính r.

Vậy, để diện tích tam giác MEF nhỏ nhất, điểm M cần nằm trên đường tròn (O) với bán kính r.