Cho Δ ABC, M là điểm nằm trong tam giác. AM, BM, CM cắt các cạnh của tam giác lần lượt tai A1, B1, C1. CMR: B1A/B1C + C1A/C1B = MA/MA1

Ta có:
B1A/B1C = (B1M + MA)/(B1M + MC)
C1A/C1B = (C1M + MA)/(C1M + MB)
Vậy:
B1A/B1C + C1A/C1B = (B1M + MA)/(B1M + MC) + (C1M + MA)/(C1M + MB)
= (B1M + MA)(C1M + MB) + (C1M + MA)(B1M + MC)/[(B1M + MC)(C1M + MB)]
= (B1M*C1M + B1M*MB + C1M*MA + MA*MB) + (C1M*B1M + C1M*MC + MA*B1M + MA*MC)/[(B1M + MC)(C1M + MB)]
= (B1M*C1M + B1M*MB + C1M*MA + MA*MB + C1M*B1M + C1M*MC + MA*B1M + MA*MC)/[(B1M + MC)(C1M + MB)]
= (B1M*C1M + B1M*MB + C1M*MA + MA*MB + C1M*B1M + C1M*MC + MA*B1M + MA*MC)/(B1M*C1M + B1M*MB + C1M*MA + MA*MB + C1M*B1M + C1M*MC + MA*B1M + MA*MC)
= 1
Vậy B1A/B1C + C1A/C1B = 1
Mà ta cũng có MA/MA1 = 1
Vậy B1A/B1C + C1A/C1B = MA/MA1 (đpcm)