Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các định lí và quy tắc trong hình học tam giác.

A. Ta có tam giác đều ABD và ACE, nên AD = AB và AE = AC. Vì tam giác ABC nhọn, nên góc ADB và góc AEC là nhọn. Do đó, ta có hai tam giác ADB và AEC là hai tam giác cân, từ đó suy ra BD = AD và CE = AE. Từ đó, ta có BD + CE = AD + AE = AB + AC. Nhưng BD + CE = BC (vì BDEC là hình bình hành), nên ta có BC = AB + AC. Từ đó suy ra DC = BC - BD = AB + AC - AD = AB + AC - AB = AC. Tương tự, ta có BE = AB.

B. Ta có tam giác đều ABD, nên góc ABD = 60 độ. Vì tam giác ABC nhọn, nên góc ABC + góc ABD < 180 độ. Do đó, góc ABC < 120 độ. Vì góc ABC < 120 độ và góc ABD = 60 độ, nên góc BID = góc ABC - góc ABD < 120 độ - 60 độ = 60 độ.

C. Ta có M là trung điểm của DC, nên DM = MC. Tương tự, ta có N là trung điểm của BE, nên EN = NE. Vì tam giác ABD đều, nên góc ADB = 60 độ. Vì tam giác ABC nhọn, nên góc ABC + góc ADB < 180 độ. Do đó, góc ABC < 120 độ. Vì góc ABC < 120 độ và góc ADB = 60 độ, nên góc ABD = góc ABC - góc ADB < 120 độ - 60 độ = 60 độ. Từ đó suy ra góc BDM = góc BDA - góc MDA = 60 độ - 60 độ = 0 độ. Tương tự, ta có góc CEN = 0 độ. Vì góc BDM = góc CEN = 0 độ, nên ta có tam giác BDM và tam giác CEN là hai tam giác cùng dạng. Từ đó suy ra tam giác BCM và tam giác CBN là hai tam giác cùng dạng. Vì BM = MC và BN = NE, nên ta có tam giác BCM = tam giác CBN. Từ đó suy ra tam giác ACM = tam giác ACB + tam giác BCM = tam giác ACB + tam giác CBN = tam giác ACB + tam giác CEN = tam giác AEM.

D. Ta đã chứng minh được tam giác ACM = tam giác AEM và AM = AM (vì M là trung điểm của DC), nên ta có tam giác AMN đều.

E. Ta có tam giác đều ABD, nên góc ABD = 60 độ. Vì tam giác ABC nhọn, nên góc ABC + góc ABD < 180 độ. Do đó, góc ABC < 120 độ. Vì góc ABC < 120 độ và góc ABD = 60 độ, nên góc BID = góc ABC - góc ABD < 120 độ - 60 độ = 60 độ. Từ đó suy ra góc BID + góc BDI = 60 độ + 60 độ = 120 độ. Nhưng góc BID + góc BDI = góc BID + góc BIA = góc AID. Vậy ta có góc AID = 120 độ. Từ đó suy ra AI + IB = ID.

F. Ta đã chứng minh được tam giác ACM = tam giác AEM và AM = AM (vì M là trung điểm của DC), nên ta có góc CAM = góc EAM. Tương tự, ta có góc BAM = góc EAM. Vì góc CAM = góc BAM, nên ta có góc AIB = góc AIC.