Để tìm số b sao cho đa thức 4x^4 + 14x^3 + 21x + (9 - b) chia hết cho đa thức 2x^2 + 3, ta thực hiện phép chia đa thức bằng phép chia đa thức thông thường.

2x^2 + 3 | 4x^4 + 14x^3 + 21x + (9 - b)

Đầu tiên, chia 4x^4 cho 2x^2, ta được 2x^2. Nhân 2x^2 với 2x^2 + 3, ta được 4x^4 + 6x^2. Trừ đa thức này từ đa thức ban đầu, ta được:

4x^4 + 14x^3 + 21x + (9 - b) - (4x^4 + 6x^2) = 14x^3 + 21x + (9 - b - 6x^2)

Tiếp theo, chia 14x^3 cho 2x^2, ta được 7x. Nhân 7x với 2x^2 + 3, ta được 14x^3 + 21x. Trừ đa thức này từ đa thức trên, ta được:

14x^3 + 21x + (9 - b - 6x^2) - (14x^3 + 21x) = 9 - b - 6x^2

Tiếp theo, chia -6x^2 cho 2x^2, ta được -3. Nhân -3 với 2x^2 + 3, ta được -6x^2 - 9. Trừ đa thức này từ đa thức trên, ta được:

9 - b - 6x^2 - (-6x^2 - 9) = 9 - b + 6x^2 + 9 = 18 + 6x^2 - b

Để đa thức này chia hết cho 2x^2 + 3, ta cần 18 + 6x^2 - b chia hết cho 2x^2 + 3. Điều này xảy ra khi và chỉ khi 18 + 6x^2 - b = 0.

Vậy, để đa thức 4x^4 + 14x^3 + 21x + (9 - b) chia hết cho đa thức 2x^2 + 3, ta cần và chỉ cần b = 18 + 6x^2.

Để tìm số a sao cho đa thức (6x^3 - 2x^2 + 9x - 3 + a) chia hết cho đa thức 3x + 1, ta thực hiện phép chia đa thức bằng phép chia đa thức thông thường.

3x + 1 | 6x^3 - 2x^2 + 9x - 3 + a

Đầu tiên, chia 6x^3 cho 3x, ta được 2x^2. Nhân 2x^2 với 3x + 1, ta được 6x^3 + 2x^2. Trừ đa thức này từ đa thức ban đầu, ta được:

6x^3 - 2x^2 + 9x - 3 + a - (6x^3 + 2x^2) = 9x - 3 + a

Tiếp theo, chia 9x cho 3x, ta được 3. Nhân 3 với 3x + 1, ta được 9x + 3. Trừ đa thức này từ đa thức trên, ta được:

9x - 3 + a - (9x + 3) = a - 6

Để đa thức này chia hết cho 3x + 1, ta cần a - 6 chia hết cho 3x + 1. Điều này xảy ra khi và chỉ khi a - 6 = 0.

Vậy, để đa thức (6x^3 - 2x^2 + 9x - 3 + a) chia hết cho đa thức 3x + 1, ta cần và chỉ cần a = 6.