Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH, Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của H trên AB,AC

Để chứng minh BM.BA + CN.CA = 2.BH.CH = BC^2, ta sẽ sử dụng định lí hình chiếu trong tam giác.

Đầu tiên, ta có:
BM.BA = BH^2 - HM^2 (1)
CN.CA = CH^2 - HN^2 (2)

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh BH^2 - HM^2 + CH^2 - HN^2 = 2.BH.CH.

Ta có:
BH^2 - HM^2 + CH^2 - HN^2 = BH^2 + CH^2 - (HM^2 + HN^2)
= BH^2 + CH^2 - (AH^2 - AM^2 + AH^2 - AN^2) (vì HM và HN là hình chiếu của H lên AB và AC)
= 2.BH^2 + 2.CH^2 - (2.AH^2 - AM^2 - AN^2)
= 2.(BH^2 + CH^2 - AH^2) + (AM^2 + AN^2)
= 2.(BH^2 + CH^2 - AH^2) + (AM^2 + AN^2 - AB^2 - AC^2 + BC^2) (vì AM và AN là hình chiếu của A lên BH và CH)
= 2.(BH^2 + CH^2 - AH^2) + (BC^2 - AB^2 - AC^2)
= 2.(BH^2 + CH^2 - AH^2) + (BC^2 - (AB^2 + AC^2))
= 2.(BH^2 + CH^2 - AH^2) + (BC^2 - BC^2) (vì AB^2 + AC^2 = BC^2 theo định lí Pythagoras)
= 2.(BH^2 + CH^2 - AH^2)
= 2.BH.CH (vì AH là đường cao, nên BH.CH = AH^2)

Vậy ta đã chứng minh được BM.BA + CN.CA = 2.BH.CH = BC^2.