Để chứng minh MNPQ là hình chữ nhật, ta cần chứng minh các cạnh của nó đều bằng nhau và các đường chéo của nó giao nhau vuông góc.

Ta có:
- M là trung điểm của AB, nên AM = MB.
- N là trung điểm của BC, nên BN = NC.
- P là trung điểm của CD, nên CP = PD.
- Q là trung điểm của DA, nên DQ = QA.

Vậy ta có:
AM = MB
BN = NC
CP = PD
DQ = QA

Do đó, ta có các cạnh của hình chữ nhật MNPQ bằng nhau.

Tiếp theo, ta cần chứng minh các đường chéo của MNPQ giao nhau vuông góc.

Gọi E là giao điểm của đường chéo MP và NQ.

Ta có:
- M là trung điểm của AB, nên ME song song với AB và ME = 1/2AB.
- N là trung điểm của BC, nên NE song song với BC và NE = 1/2BC.

Vậy ta có:
ME || AB và NE || BC.

Do đó, ta có ME || AB || CD và NE || BC || AD.

Vì ME || CD và NE || AD, nên ME giao NE tại E là giao điểm của đường chéo MP và NQ.

Ta có:
ME = 1/2AB và NE = 1/2BC.

Vì AB = CD và BC = AD, nên ME = 1/2CD và NE = 1/2AD.

Vậy ta có ME = 1/2CD và NE = 1/2AD.

Do đó, ta có ME = NE.

Vậy ta có đường chéo MP cắt đường chéo NQ tại E và ME = NE.

Vậy ta đã chứng minh MNPQ là hình chữ nhật.