a) Ta có tỉ lệ a/b = c/d. Đặt tỉ số này là k.
Tức là a/b = c/d = k.
Từ đó, ta có a = kb và c = kd.
Thay vào biểu thức a^2 + b^2 / c^2 + d^2, ta được:
a^2 + b^2 / c^2 + d^2 = (kb)^2 + b^2 / (kd)^2 + d^2 = k^2b^2 + b^2 / k^2d^2 + d^2 = (k^2 + 1)(b^2 + d^2) / (k^2d^2).
Vì a/b = c/d = k, nên ta có a^2/b^2 = c^2/d^2 = k^2.
Từ đó, ta có a^2 = k^2b^2 và c^2 = k^2d^2.
Thay vào biểu thức trên, ta được:
(k^2b^2 + b^2) / (k^2d^2 + d^2) = (k^2 + 1)(b^2 + d^2) / (k^2d^2).
Vậy, ta đã chứng minh được a^2 + b^2 / c^2 + d^2 = (k^2 + 1)(b^2 + d^2) / (k^2d^2).

b) Gọi số học sinh giỏi của lớp 7A là x.
Số học sinh giỏi của lớp 7B là x + 8 (vì lớp 7B nhiều hơn lớp 7A là 8 học sinh).
Số học sinh giỏi của lớp 7C là (6/8) * (x + 8) = (3/4)(x + 8) (vì tỉ lệ số học sinh giỏi của lớp 7B và lớp 7C là 8:6 = 4:3).
Tổng số học sinh giỏi của cả ba lớp là x + x + 8 + (3/4)(x + 8) = 6x/4 + 8/4 + 3x/4 + 6 = (9x + 14)/4.
Vì tỉ lệ số học sinh giỏi của ba lớp là 6:8:9 = 3:4:4, nên ta có:
(9x + 14)/4 = (3/11) * (9x + 14) + (4/11) * (9x + 14) + (4/11) * (9x + 14) = (3/11) * (9x + 14) + (8/11) * (9x + 14).
Từ đó, ta có:
(9x + 14)/4 = (3/11) * (9x + 14) + (8/11) * (9x + 14).
Nhân cả hai vế của phương trình trên với 4 * 11, ta được:
11(9x + 14) = 3(9x + 14) + 8(9x + 14).
Mở ngoặc và rút gọn, ta có:
99x + 154 = 27x + 42 + 72x + 112.
Tổng hợp các thành phần chứa x, ta được:
99x - 27x - 72x = 112 - 42 - 154.
Simplifying, we have:
0 = -84.
Phương trình trên không có nghiệm. Vậy không tồn tại số học sinh giỏi của các lớp 7A, 7B, 7C thỏa mãn yêu cầu đề bài.