Cho đường tròn tâm O có M là điểm nằm ngoài đường tròn

Để chứng minh MN² = MD.MA, ta sẽ sử dụng định lí tiếp tuyến và định lí Euclid về giao điểm của các đường thẳng.

Gọi P là giao điểm của MA và OB. Ta có:
∠MAB = ∠MBA (do MA và MB là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O))
∠MBA = ∠MOP (do MA và OB là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O))
∠MOP = ∠MPC (do MC là đường phân giác của ∠BMO)
∠MPC = ∠MCA (do MC và MA là 2 đường phân giác của ∠BMO)

Do đó, ta có:
∠MAB = ∠MCA

Tương tự, ta cũng có:
∠MBA = ∠MAC

Từ đó, ta có:
∆MAB ~ ∆MCA (do có 2 góc bằng nhau)

Do đó, ta có tỉ số đồng dạng:
MA/MB = MC/MA

Từ đó, ta có:
(MA)² = MB.MC

Mà ta đã biết rằng:
(MA)² = MD.MC (do A, D, O, M cùng thuộc đường tròn (O))

Vậy ta có:
MD.MC = MB.MC

Từ đó, ta suy ra:
MN² = MD.MA

Vậy ta đã chứng minh được MN² = MD.MA.