Để chứng minh rằng (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 120, ta cần chứng minh rằng nó chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8.

1. Chia hết cho 2:
   Khi n là số chẵn, thì (n - 2), (n - 1), n, (n + 1), (n + 2) đều là số chẵn. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 2.

2. Chia hết cho 3:
   Khi n ≡ 0 (mod 3), tức là n chia hết cho 3, thì (n - 2), (n - 1), n, (n + 1), (n + 2) đều chia hết cho 3. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 3.

3. Chia hết cho 4:
   Khi n ≡ 0 hoặc 1 (mod 2), tức là n là số chẵn hoặc lẻ, thì (n - 2), (n - 1), n, (n + 1), (n + 2) chia hết cho 2. Nếu n là số chẵn, thì tích của chúng chia hết cho 4. Nếu n là số lẻ, thì (n - 1) và (n + 1) chia hết cho 2, nên tích của chúng cũng chia hết cho 4.

4. Chia hết cho 5:
   Khi n ≡ 0, 1, 2, 3, 4 (mod 5), tức là n chia hết cho 5 hoặc n có dư 1, 2, 3, 4 khi chia cho 5, thì (n - 2), (n - 1), n, (n + 1), (n + 2) đều chia hết cho 5. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 5.

5. Chia hết cho 8:
   Khi n ≡ 0 hoặc 1 (mod 4), tức là n là số chẵn hoặc lẻ, thì (n - 2), (n - 1), n, (n + 1), (n + 2) chia hết cho 2. Nếu n là số chẵn, thì tích của chúng chia hết cho 8. Nếu n là số lẻ, thì (n - 2) và (n + 2) chia hết cho 4, nên tích của chúng cũng chia hết cho 8.

Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8, nên nó chia hết cho 2 * 3 * 4 * 5 * 8 = 120.