Để chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau của tứ giác này bằng nhau và hai đường chéo của tứ giác cắt nhau ở trung điểm.

Gọi E là giao điểm của đường thẳng AB và CD. Ta cần chứng minh AE cắt BD ở trung điểm của BD.

Vì M là trung điểm của BC, nên ta có BM = MC. Vì AM = MD, nên ta có AM = MD. Từ đó, ta có AM = MD = MC.

Do đó, tam giác AMC là tam giác đều.

Vì tam giác AMC là tam giác đều, nên ta có góc MAC = 60 độ.

Tương tự, ta có góc MBC = 60 độ.

Vì góc MAC = góc MBC = 60 độ, nên ta có góc MAC = góc MBC.

Do đó, tam giác ABC là tam giác cân tại A.

Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên ta có AE là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì AE là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên ta có AE = \frac{1}{2} BC.

Vì M là trung điểm của BC, nên ta có ME = \frac{1}{2} BC.

Vì AE = ME, nên ta có AE = ME.

Do đó, AE cắt BD ở trung điểm của BD.

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành.