Cho 4x^2+9y^2=9. Tìm giá trị của biến x, y để A= x-2y+3 đạt GTNN, GTLN

Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A = x - 2y + 3, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biến x và y thỏa mãn điều kiện 4x^2 + 9y^2 = 9.

Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm.

Bước 1: Giải hệ phương trình đạo hàm của hàm mục tiêu và ràng buộc:

∂A/∂x = 1 = λ * ∂(4x^2 + 9y^2 - 9)/∂x = λ * 8x
∂A/∂y = -2 = λ * ∂(4x^2 + 9y^2 - 9)/∂y = λ * 18y
4x^2 + 9y^2 = 9

Bước 2: Giải hệ phương trình trên:

8x = λ
18y = -2λ
4x^2 + 9y^2 = 9

Bước 3: Tìm giá trị của x và y từ hệ phương trình trên:

Từ phương trình thứ nhất, ta có x = λ/8
Từ phương trình thứ hai, ta có y = -λ/9

Thay x và y vào phương trình thứ ba, ta có:

4(λ/8)^2 + 9(-λ/9)^2 = 9
λ^2/16 + λ^2/9 = 9
9λ^2 + 16λ^2 = 144 * 16
25λ^2 = 144 * 16
λ^2 = (144 * 16)/25
λ = ±12 * 4/5
λ = ±48/5

Bước 4: Tìm giá trị của x và y từ giá trị của λ:

Khi λ = 48/5:
x = (48/5)/8 = 6/5
y = -(48/5)/9 = -8/15

Khi λ = -48/5:
x = (-48/5)/8 = -6/5
y = -(-48/5)/9 = 8/15

Bước 5: Tính giá trị của A từ giá trị của x và y:

Khi λ = 48/5:
A = x - 2y + 3 = (6/5) - 2(-8/15) + 3 = 6/5 + 16/15 + 3 = 9/5 + 16/15 + 45/15 = 70/15 = 14/3

Khi λ = -48/5:
A = x - 2y + 3 = (-6/5) - 2(8/15) + 3 = -6/5 - 16/15 + 3 = -18/15 - 16/15 + 45/15 = 11/15

Vậy, giá trị nhỏ nhất của A là 11/15 và giá trị lớn nhất của A là 14/3.