Để chứng minh HI.HC + HK.HB = HB.HC, ta sẽ sử dụng định lí Euclid về đường cao trong tam giác vuông.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Khi đó, ta có:

1. Tam giác AHB và tam giác AHC đồng dạng (cùng góc vuông và góc nhọn).
   Do đó, ta có tỉ số đồng dạng: AH/AB = AC/AH.
   Từ đó, suy ra AH^2 = AB.AC. (1)

2. Tam giác BHK và tam giác CHI đồng dạng (cùng góc vuông và góc nhọn).
   Do đó, ta có tỉ số đồng dạng: BH/BK = CI/CH.
   Từ đó, suy ra BH.CH = BK.CI. (2)

3. Từ hai công thức trên, ta có:
   HI.HC + HK.HB = (HI.HC + HK.HB).1 = (HI.HC + HK.HB).(AH^2 / AH^2) = (HI.HC.AH^2 + HK.HB.AH^2) / AH^2
   = (HI.AH.HC + HK.AH.HB) / AH^2
   = (HI.AB.AC + HK.BK.CI) / AH^2
   = (HI.AB.AC + HK.BH.CH) / AH^2
   = (HI.AB.AC + HK.BH.CH - HI.AB.CH + HI.AB.CH) / AH^2
   = (HI.AB.(AC - CH) + HK.BH.CH + HI.AB.CH) / AH^2
   = (HI.AB.AC + HK.BH.CH - HI.AB.CH + HI.AB.CH) / AH^2
   = (HI.AB.AC + HK.BH.CH) / AH^2
   = HB.HC. (từ công thức (1) và (2))

Vậy, ta đã chứng minh được HI.HC + HK.HB = HB.HC.
Cho mình xin điểm cao nhất ạ