Để vẽ tam giác ABC, ta vẽ đoạn thẳng AB = 4cm và đoạn thẳng AC = 4√3 cm. Sau đó, vẽ đường thẳng AH vuông góc với AB tại H.

Để chứng minh rằng BD.DA + CE.EA = AH^2, ta sẽ sử dụng định lí Pythagoras và định lí Euclid.

Theo định lí Pythagoras, trong tam giác vuông ABC, ta có:

AB^2 + AC^2 = BC^2

(4cm)^2 + (4√3 cm)^2 = BC^2

16 cm^2 + 48 cm^2 = BC^2

64 cm^2 = BC^2

BC = 8 cm

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, AH = BC/2 = 8/2 = 4 cm.

Kẻ đường thẳng HD và HE vuông góc với AB và AC tương ứng. Gọi D là giao điểm của HD và AB, E là giao điểm của HE và AC.

Ta có:

BD = AB - AD = 4 cm - AD

CE = AC - AE = 4√3 cm - AE

Áp dụng định lí Euclid, ta có:

BD.DA + CE.EA = AH^2

(4 cm - AD).AD + (4√3 cm - AE).AE = (4 cm)^2

4AD - AD^2 + 4√3AE - AE^2 = 16 cm^2

Để chứng minh rằng BD.DA + CE.EA = AH^2, ta cần chứng minh rằng:

4AD - AD^2 + 4√3AE - AE^2 = 16 cm^2

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng định lí Euclid và tính chất của tam giác vuông.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có:

AD^2 + HD^2 = AH^2

AE^2 + HE^2 = AH^2

Từ đó, ta có:

AD^2 = AH^2 - HD^2

AE^2 = AH^2 - HE^2

Thay vào biểu thức cần chứng minh, ta có:

4AD - AD^2 + 4√3AE - AE^2 = 16 cm^2

4(√(AD^2 + HD^2)) - (AH^2 - HD^2) + 4√3(√(AE^2 + HE^2)) - (AH^2 - HE^2) = 16 cm^2

4√(AD^2 + HD^2) - AH^2 + HD^2 + 4√3√(AE^2 + HE^2) - AH^2 + HE^2 = 16 cm^2

4√(AD^2 + HD^2) + 4√3√(AE^2 + HE^2) = 16 cm^2

4(√(AD^2 + HD^2) + √3√(AE^2 + HE^2)) = 16 cm^2

√(AD^2 + HD^2) + √3√(AE^2 + HE^2) = 4 cm^2

Vì AD, HD, AE, HE là độ dài các đoạn thẳng không âm, nên cả hai căn bậc hai trong biểu thức trên cũng không âm. Do đó, ta có:

√(AD^2 + HD^2) + √3√(AE^2 + HE^2) ≥ √(AD^2 + HD^2) > 0

√(AD^2 + HD^2) + √3√(AE^2 + HE^2) > 0

Vậy, ta đã chứng minh được rằng BD.DA + CE.EA = AH^2.