Để chứng minh H là trung điểm của đoạn thẳng IK, ta cần chứng minh rằng HI = HK.

Vì HM vuông góc với đường thẳng qua H nên HM là đường cao của tam giác HIK. Do đó, ta có:

HI² + HK² = HM²

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC. Từ đó, ta có:

HM² = HB² + BM²

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại B nên HB² = AB² + AH². Thay vào công thức trên, ta có:

HM² = AB² + AH² + BM²

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = BC/2. Thay vào công thức trên, ta có:

HM² = AB² + AH² + (BC/2)²

Tương tự, ta có:

HK² = AC² + AH² + (BC/2)²

Vậy, để chứng minh HI = HK, ta cần chứng minh rằng AB² + AH² + (BC/2)² = AC² + AH² + (BC/2)².

Ta có:

AB² + AH² = AC² + AH² (vì tam giác ABC là tam giác cân)

Vậy, ta có HI = HK và do đó H là trung điểm của đoạn thẳng IK.