Để chứng minh các phát biểu trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân và tam giác vuông.

a) Ta có BD = DE = EC (điều kiện đã cho), và tam giác ABC cân tại A (điều kiện đã cho). Do đó, ta có AD = AE (cùng là đường cao của tam giác ABC), và tam giác ADE cân tại A.

b) Ta có BH vuông góc với AD và CK vuông góc với AE. Vì BH và CK cắt nhau tại G, nên ta có góc BHG = góc CKG = 90 độ. Do đó, tam giác BHG và tam giác CKG là tam giác vuông.

Vì BH = BG (đường cao của tam giác ABC), nên tam giác BHG cân tại B. Tương tự, ta có tam giác CKG cân tại C. Do đó, BH = BG và CK = CG.

Vậy, BH = CK.

c) Ta có M là trung điểm của BC (điều kiện đã cho). Vì tam giác ABC cân tại A, nên AM là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, M là trung điểm của AH.

Vì BH vuông góc với AD, nên G nằm trên đường cao BH của tam giác ABC. Vì M là trung điểm của BC, nên M cũng là trung điểm của BH.

Vậy, A, M, G thẳng hàng.

d) Ta có BH = BG (đường cao của tam giác ABC), và BH vuông góc với AD. Vì tam giác BHG là tam giác vuông, nên ta có BH > BG.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên tam giác ABC đối xứng qua đường cao BH. Do đó, AC > AB.

Vậy, AC > AD.

e) Ta có tam giác ADE cân tại A (đã chứng minh ở câu a). Vì tam giác ADE cân, nên góc DAE = góc DEA.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên tam giác ABC đối xứng qua đường cao BH. Do đó, góc DAB = góc BAC.

Vậy, góc DAE > góc DAB.