a) Để chứng minh tam giác ABC vuông tại A, ta sử dụng định lý Pythagoras. Theo định lý Pythagoras, trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Áp dụng vào tam giác ABC, ta có:
AB^2 + AC^2 = BC^2
6^2 + 4.5^2 = 7.5^2
36 + 20.25 = 56.25
56.25 = 56.25

Vậy ta có AB^2 + AC^2 = BC^2, do đó tam giác ABC vuông tại A.

Để tính các góc B và C, ta sử dụng định lý cosin. Theo định lý cosin, trong một tam giác ABC, bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi gấp đôi tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc giữa chúng.

Áp dụng vào tam giác ABC, ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(BAC)
7.5^2 = 6^2 + 4.5^2 - 2 * 6 * 4.5 * cos(BAC)
56.25 = 36 + 20.25 - 54 * cos(BAC)
56.25 = 56.25 - 54 * cos(BAC)
54 * cos(BAC) = 0
cos(BAC) = 0

Vì cos(BAC) = 0, nên góc BAC = 90 độ. Do tam giác ABC vuông tại A, nên góc B = 90 độ và góc C = 180 - 90 - 90 = 0 độ.

Để tính đường cao AH của tam giác ABC, ta sử dụng công thức diện tích tam giác. Diện tích tam giác bằng một nửa tích của độ dài đáy và đường cao tương ứng.

Áp dụng vào tam giác ABC, ta có:
Diện tích tam giác ABC = 1/2 * AB * AH
Diện tích tam giác ABC = 1/2 * 6 * AH

Vì diện tích tam giác ABC không được cung cấp trong câu hỏi, nên không thể tính được đường cao AH.

b) Để tìm điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC, ta xem xét các đường cao của tam giác ABC.

Đường cao AH của tam giác ABC chia tam giác thành hai tam giác nhỏ hơn. Diện tích của tam giác ABC bằng tổng diện tích của hai tam giác nhỏ hơn. Do đó, điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường cao AH của tam giác ABC.