Để tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 2^x = y^2, ta có thể thử các giá trị của x và tìm giá trị tương ứng của y.

Bắt đầu với x = 0, ta có 2^0 = 1 và không có số tự nhiên nào bình phương bằng 1. Vậy không có nghiệm tự nhiên khi x = 0.

Tiếp theo, thử x = 1, ta có 2^1 = 2 và không có số tự nhiên nào bình phương bằng 2. Vậy không có nghiệm tự nhiên khi x = 1.

Tiếp tục thử x = 2, ta có 2^2 = 4 và y^2 = 4. Với y = 2, ta có một nghiệm tự nhiên (x, y) = (2, 2).

Tiếp tục thử x = 3, ta có 2^3 = 8 và không có số tự nhiên nào bình phương bằng 8. Vậy không có nghiệm tự nhiên khi x = 3.

Từ đây, ta có thể thấy rằng không có nghiệm tự nhiên khác ngoài (x, y) = (2, 2).