Ta có:
a² + b² + 12ab + a + b = (a² + 2ab + b²) + 10ab + (a + b)
= (a + b)² + 10ab + (a + b)

Đặt x = a + b, y = ab, ta có:
(a + b)² + 10ab + (a + b) = x² + 10y + x

Ta cần chứng minh x² + 10y + x ≥ 0 với x, y là các số thực.

Ta có:
x² + 10y + x = x(x + 1) + 10y

Với x(x + 1) ≥ 0 và 10y ≥ 0, ta có x² + 10y + x ≥ 0.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng a² + b² + 12ab + a + b ≥ 0 với a, b, c là các số thực.