Giả sử a và b là hai số thực dương hoặc âm sao cho a^2 + b^2 = 4.
Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab/(a + b + 2).
Đầu tiên, chúng ta tính đạo hàm riêng theo a: dP/da = (b(a+b+2) - ab)/(a+b+2)^2
Tiếp theo, chúng ta gán đạo hàm này bằng 0 và giải phương trình để tìm các điểm cực trị: (b(a+b+2) - ab)/(a+b+2)^2 = 0
Sau khi rút gọn biểu thức, chúng ta có:
b(a+b+2) - ab = 0 ab + b^2 + 2b - ab = 0 b^2 + 3b = 0
Phương trình này có một nghiệm duy nhất là b=0.
Khi đó, từ phương trình ban đầu (a^2 + b^2 =4), suy ra a=±√4=±2.
Vậy các giá trị của a và b là (-1,-1), (-1,1), (1,-1), hoặc (1,1).
Vì vậy, chúng ta chỉ quan tâm đến các trường hợp khi a và b có dấu khác nhau.
Đối với các giá trị (-1,1) hoặc (1,-1), ta có: P = ab/(a + b + 2) = (-1)(1)/(-1 + 1 + 2) = -1/2
Vậy giá trị lớn nhất của P trong trường hợp này là -0.5.
 giá trị lớn nhất của biểu thức P=ab/(a+b+2) trong điều kiện a^2+b^2=4 và a,b là số thực âm là -0.5.