Vì H là trực tâm, nên ta có:
HA = 2RcosA
HB = 2RcosB
HC = 2RcosC

Trong đó, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Đặt x = cosA + cosB + cosC, y = cos²A + cos²B + cos²C.
Ta có:
x² = (cosA + cosB + cosC)² = cos²A + cos²B + cos²C + 2cosAcosB + 2cosBcosC + 2cosCcosA
= y + 2cosAcosB + 2cosBcosC + 2cosCcosA
Vì tam giác ABC là tam giác nhọn, nên cosAcosB + cosBcosC + cosCcosA < 0.
Do đó, x² < y.
x² / (AB² + BC² + CA²) < 1 Tương đương với:
x² < AB² + BC² + CA²
Từ bất đẳng thức tam giác, ta có:
AB + BC > AC
AB + AC > BC
BC + AC > AB
Kết hợp với x = cosA + cosB + cosC, ta có:
x = cosA + cosB + cosC < 3
Do đó, x² < 9
Và AB² + BC² + CA² > 9
Vậy, ta đã chứng minh được rằng (HA+HB+HC)²/(AB²+BC²+CA²) < 1.