Vì AO là đường kính của (O'), nên O'A vuông góc với AC tại A.
Tương tự, OB là đường kính của (O), nên O'B vuông góc với BD tại B.
Do hai đường thẳng O'A và O'B cắt nhau tại A, ta có: gócAO'C = gócBO'D (góc ở chân tiếp tuyến bằng góc ở chân phụ)
gócACO' = gócBDO' (góc ở đỉnh tiếp tuyến bằng góc ở đỉnh phụ)
Vì gócAO'C = gócBO'D và gócACO' = gócBDO', nên hai tam giác ACO' và BDO' có hai góc bằng nhau.
Do đó, theo nguyên lý cạnh - góc - cạnh, ta có: AC/OC = BC/OB Do OC = OB (vì OA là đường kính), ta suy ra AC = BC. Từ AC=BC, suy ra C là trung điểm của AD.
Để chứng minh rằng các tiếp tuyến tại C và D song song với nhau, ta sử dụng tính chất của các tiếp tuyến.
Vì C là trung điểm của AD, nên AC = CD.
Do đó, tam giác ACD là tam giác cân.
Theo tính chất của tam giác cân, ta có: gócACD = gócADC Vì gócACD và gócADC là hai góc ở đỉnh của tam giác ACD và nằm trên cùng một tiếp tuyến (tức là tiếp tuyến qua C), nên chúng bằng nhau.
Do đó, các tiếp tuyến tại C và D song song với nhau.
b) Hãy xác định điểm C sao cho BC là tiếp tuyến của (O')
Để BC là tiếp tuyến của (O'), ta cần chứng minh rằng gócBCO' = 90°.
Vì AO là đường kính của (O'), nên O'A vuông góc với AC.
Vì ACB là tam giác vuông (do BCA = 90°), nên AB vuông góc với BC.
Do đó, AB // O'C.
Từ đây suy ra: gócBCO' = gócCAB Để BC // O'A thì phải có: gócCAB + gócBAO' = 180°
Nhưng từ hình đã cho biết AO'O'C lập thành tứ giác nội tiếp, nên: gócBAO' = gócCO'O'
Vậy ta có: gócBCO' = gócCAB + gócBAO' = gócCAB + gócCO'O'
Vì tứ giác AO'O'C lập thành tứ giác nội tiếp, nên: gócCO'O' = 180° - gócAO'C
Như vậy: gócBCO' = gócCAB + (180° - gócAO'C) = 180° - (gócACB + gócAO'C)
Do tam giác ACD là tam giác cân và C là trung điểm của AD, ta có: gócACD = 1/2 x (180° - (gócACB + gócAO'C)) = 1/2 * (180° - (gócACB + 2*gócACO')) = 90° - (gócACB/2 + gócACO')
Vì ACB là góc nhọn và O'A vuông góc với AC, nên: gócACB/2 + O'CA < 90° Từ đây suy ra: 90° - (gócACB/2 + O'CA) >0
Do đó, ta có: 90° > (gócBCA+OC'A) Từ đây suy ra: (OC', BC) <90 ° Vậy BC là tiếp tuyến của (O') khi và chỉ khi C thỏa mãn điều kiện trên.