a) Ta có:
- Gọi E là giao điểm của AC và BD.
- Ta có AO' là đường cao của tam giác ACD (vì AO' vuông góc với CD).
- Do đó, ta có AE là đường cao của tam giác ACD.
- Vì O và O' là tâm của hai nửa đường tròn, nên OO' song song với CD.
- Khi đó, ta có AE song song với CD (do AE và OO' cùng vuông góc với CD).
- Vậy, ta có AECD là hình chữ nhật.
- Do đó, ta có AC = ED và AD = EC.
- Vì AC = ED, nên C là trung điểm của AD.
- Vì AD = EC, nên D là trung điểm của EC.
- Vậy, ta đã chứng minh C là trung điểm của AD.

Tiếp theo, ta chứng minh các tiếp tuyến tại C và D với các nửa đường tròn song song với nhau:
- Gọi F là giao điểm của BC và (O').
- Ta có BC là tiếp tuyến của (O') khi và chỉ khi BC vuông góc với OF (điều này suy ra từ tính chất của tiếp tuyến và đường kính).
- Vì BC là tiếp tuyến của (O'), nên BC vuông góc với AO' (điều này suy ra từ tính chất của tiếp tuyến và đường kính).
- Vì AO' vuông góc với CD, nên BC vuông góc với CD.
- Vậy, ta có BC song song với AD (do BC và AD cùng vuông góc với CD).
- Tương tự, ta có BD song song với AC.
- Vậy, ta đã chứng minh các tiếp tuyến tại C và D với các nửa đường tròn song song với nhau.

b) Để BC là tiếp tuyến của (O'), ta cần chứng minh BC vuông góc với AO'.
- Gọi G là giao điểm của BC và AO'.
- Ta cần chứng minh BG = CG.
- Ta có AO' là đường cao của tam giác ACD, nên AG là đường cao của tam giác ABC.
- Vì AECD là hình chữ nhật, nên AG = EC.
- Ta có AG = EC = AD/2 (do C là trung điểm của AD).
- Vậy, ta có BG = CG (do B và C cùng nằm trên đường thẳng AG).
- Vậy, ta đã xác định được điểm C sao cho BC là tiếp tuyến của (O').