Từ điểm A ngoài đường tròn (O;R) vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B và C là tiếp điểm)

Để chứng minh 2/3*R < MN < R, ta sẽ sử dụng định lí Pitago và định lí hình học về tiếp tuyến.

Gọi E là giao điểm của AB và AC. Ta có:
- Do BAC = 90°, nên tam giác BAC là tam giác vuông tại A.
- Do đó, AE là đường cao của tam giác BAC và cắt đường tròn tại điểm E.
- Vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn, nên AE là đường phân giác của góc BAC.
- Từ đó, ta có BA = CA.

Gọi I là trung điểm của MN. Ta có:
- Do BM và CN là tiếp tuyến của đường tròn, nên BM = CN = R.
- Do đó, tam giác BIM và CIN là tam giác đều.
- Vì BA = CA, nên tam giác BAI và CAI là tam giác cân.
- Từ đó, ta có BI = CI.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác BIM, ta có:
BI² = BM² + IM²
BI² = R² + IM²

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác CIM, ta có:
CI² = CN² + IN²
CI² = R² + IN²

Vì BI = CI, nên ta có:
R² + IM² = R² + IN²
IM² = IN²

Do đó, ta có IM = IN.

Vậy, ta có: BI = CI và IM = IN.

Áp dụng định lí hình học về tiếp tuyến, ta có:
- MN là đường chéo của hình chữ nhật BICM.
- Do đó, MN > BI = CI.

Từ đó, ta có: 2/3*R < MN.

Vì BI = CI và IM = IN, nên ta có: BIMN là hình vuông.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác BIM, ta có:
BI² + IM² = BM²
BI² + IM² = R²

Vì BI = CI và IM = IN, nên ta có:
CI² + IN² = CN²
CI² + IN² = R²

Do đó, ta có: CI² + IN² = BI² + IM².

Vì BIMN là hình vuông, nên ta có: CI² + IN² = BI² + IM² = R².

Từ đó, ta có: MN < R.

Vậy, ta đã chứng minh được 2/3*R < MN < R.