Để chứng minh rằng hàm số y = (-m^2 + m - 1)x + m luôn là hàm số bậc nhất, ta cần kiểm tra xem hệ số của x có bằng 0 hay không.

Trong hàm số y = (-m^2 + m - 1)x + m, hệ số của x là (-m^2 + m - 1). Để hệ số của x bằng 0, ta cần giải phương trình (-m^2 + m - 1) = 0.

Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng công thức Viết. Ta có:

Δ = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(-1)(-1) = 1 - 4 = -3

Vì Δ < 0, nên phương trình không có nghiệm thực. Do đó, hệ số của x không bằng 0.

Vậy, hàm số y = (-m^2 + m - 1)x + m luôn là hàm số bậc nhất.

Để xác định tính chất đồng biến hay nghịch biến của hàm số này, ta cần xem dấu của hệ số của x.

Trong hàm số y = (-m^2 + m - 1)x + m, hệ số của x là (-m^2 + m - 1).

Để xác định dấu của hệ số này, ta có thể sử dụng đồ thị hàm số.

Khi vẽ đồ thị hàm số y = (-m^2 + m - 1)x + m, ta thấy rằng đường thẳng này luôn đi qua điểm (0, m).

Nếu hệ số của x là dương, thì đường thẳng sẽ nghiêng lên bên phải. Khi đó, hàm số là đồng biến.

Nếu hệ số của x là âm, thì đường thẳng sẽ nghiêng xuống bên phải. Khi đó, hàm số là nghịch biến.

Để xác định dấu của hệ số (-m^2 + m - 1), ta có thể xem xét các giá trị của m.

Nếu (-m^2 + m - 1) > 0, thì hệ số là dương và hàm số là đồng biến.

Nếu (-m^2 + m - 1) < 0, thì hệ số là âm và hàm số là nghịch biến.

Vậy, tính chất đồng biến hay nghịch biến của hàm số y = (-m^2 + m - 1)x + m phụ thuộc vào giá trị của m.