a. Để tìm phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A(2,3) và B(-2,-1), ta sử dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua hai điểm:

Phương trình đường thẳng (d): y - y1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) * (x - x1)

Thay vào đó, ta có:
x1 = 2, y1 = 3, x2 = -2, y2 = -1

Phương trình đường thẳng (d): y - 3 = (-1 - 3)/(-2 - 2) * (x - 2)
=> y - 3 = (-4)/(-4) * (x - 2)
=> y - 3 = x - 2
=> y = x + 1

Vậy phương trình đường thẳng (d) là y = x + 1.

b. Để tìm phương trình đường thẳng (d') qua điểm A(2,3) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 4, ta sử dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có độ dốc đã biết:

Phương trình đường thẳng (d'): y - y1 = m * (x - x1)

Thay vào đó, ta có:
x1 = 2, y1 = 3, x = 4

Vì đường thẳng (d') cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 4, nên y = 0.

Phương trình đường thẳng (d'): 0 - 3 = m * (4 - 2)
=> -3 = 2m
=> m = -3/2

Vậy phương trình đường thẳng (d') là y - 3 = (-3/2) * (x - 2).

c. Để vẽ đường thẳng (d) và (d') trên cùng một hệ trục tọa độ, ta vẽ đường thẳng (d) với phương trình y = x + 1 và đường thẳng (d') với phương trình y - 3 = (-3/2) * (x - 2).

d. Để tính diện tích hình tam giác, ta cần biết độ dài hai cạnh của tam giác và góc giữa hai cạnh đó. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp đủ thông tin để tính diện tích hình tam giác.