a) Ta có tam giác vuông ABC, với đường cao AH.
Theo định nghĩa, đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông cân tại H.
Vậy ta có:
AH = HB + HC = 4cm + 9cm = 13cm (theo định lý Pythagoras)
AB = AH + HB = 13cm + 4cm = 17cm
AC = AH + HC = 13cm + 9cm = 22cm
Góc ABC = tan(ABC) = HB/HC = 4cm/9cm = 0.444 (làm tròn đến độ)

b) Gọi E là hình chiếu của H trên AB, F là hình chiếu của H trên AC.
Ta cần chứng minh AH = EF và AE.AB + AF.AC = 2EF^2.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC, và EF là đường cao của tam giác AHE.
Vậy AH = EF.

Áp dụng định lý Euclid, ta có:
AE.AB + AF.AC = 2EF^2
=> AE.AB + AF.AC = 2AH^2 (vì AH = EF)
=> AE.AB + AF.AC = 2(13cm)^2
=> AE.AB + AF.AC = 338cm^2

c) Vẽ FK vuông góc với BC tại K.
Ta cần chứng minh KF = HC/tan(AHF) + cot(ACB).

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC, và HF là đường cao của tam giác AHF.
Vậy KF = HF.

Áp dụng định lý tan và cot, ta có:
KF = HC/tan(AHF) + cot(ACB)
=> KF = HC/tan(AHF) + cot(ABC) (vì AHF = ABC)
=> KF = HC/tan(AHF) + cot(90° - ABC) (vì ABC là góc vuông)
=> KF = HC/tan(AHF) + tan(ABC) (vì cot(90° - x) = tan(x))
=> KF = HC/tan(AHF) + HB/HC (vì tan(ABC) = HB/HC)
=> KF = HC/ tan(AHF) + HB/HC
=> KF = HC/ tan(AHF) + cot(ACB)