Để giải bài toán này, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông.

Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:
AC² = AH² + CH² (1)
BC² = BH² + CH² (2)

Với AB = 12 và BH = 6, ta có:
AC² = AH² + CH² (1)
BC² = 6² + CH² (2)

Ta biết rằng đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông cân. Vì vậy, ta có:
AH = CH (3)

Thay (3) vào (2), ta có:
BC² = 6² + AH² (4)

Từ (1) và (4), ta có hệ phương trình:
AC² = AH² + CH²
BC² = 6² + AH²

Khi giải hệ phương trình này, ta có:
AC = √(AH² + CH²)
BC = √(6² + AH²)

Để tìm giá trị của AH, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHG (G là trung điểm của BC):
HG² = AH² + BG²
HG² = AH² + (BC/2)²
HG² = AH² + (BC/2)²
HG² = AH² + (6/2)²
HG² = AH² + 9
HG = √(AH² + 9)

Vì HG là đường cao của tam giác ABC, nên HG = CH. Từ đó, ta có:
CH = √(AH² + 9)

Thay CH = √(AH² + 9) vào AC = √(AH² + CH²), ta có:
AC = √(AH² + (√(AH² + 9))²)
AC = √(AH² + AH² + 9)
AC = √(2AH² + 9)

Thay CH = √(AH² + 9) vào BC = √(6² + AH²), ta có:
BC = √(6² + AH²)

Vậy, ta đã tìm được các giá trị cần tính: AH, AC, BC, CH.