Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức X^2 + 2Y^2 + 2XY + 2Y + 2020, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Đầu tiên, ta nhận thấy biểu thức có hai biến X và Y. Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của từng biến riêng biệt.

Đối với biến X, ta có X^2 + 2XY = (X + Y)^2 - Y^2. Vì (X + Y)^2 luôn không âm, nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức này là khi Y^2 đạt giá trị nhỏ nhất, tức là Y = 0. Khi đó, X^2 + 2XY = X^2.

Đối với biến Y, ta có 2Y^2 + 2Y = 2(Y^2 + Y) = 2(Y^2 + Y + 1/4) - 1/2 = 2(Y + 1/2)^2 - 1/2. Vì (Y + 1/2)^2 luôn không âm, nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức này là khi (Y + 1/2)^2 đạt giá trị nhỏ nhất, tức là Y = -1/2. Khi đó, 2(Y + 1/2)^2 - 1/2 = -1/2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức X^2 + 2Y^2 + 2XY + 2Y + 2020 là X^2 + (-1/2) + 2020 = X^2 + 2019. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biến X.

Vì X^2 là một số không âm, nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức X^2 + 2019 là khi X = 0. Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ban đầu là 0 + 2019 = 2019.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức X^2 + 2Y^2 + 2XY + 2Y + 2020 là 2019.