Tìm các giá trị nguyên của m để hàm số

Để hàm số y = 1/3x² - mx² + (2m+3)x + 1 đồng biến trên R, ta cần xác định các giá trị nguyên của m sao cho hàm số có đạo hàm bậc nhất luôn không âm trên R.

Đạo hàm bậc nhất của hàm số y là:
y' = (2/3)x - 2mx + (2m+3)

Để hàm số y đồng biến trên R, ta cần y' ≥ 0 trên R.

Ta có:
(2/3)x - 2mx + (2m+3) ≥ 0

Để giải phương trình này, ta cần xác định điều kiện để đa thức bậc hai này không âm.

Đa thức bậc hai này sẽ không âm khi và chỉ khi hệ số của x² là không dương và delta ≤ 0.

Hệ số của x² là -m, nên -m ≤ 0 => m ≥ 0.

Delta của đa thức bậc hai này là: Δ = (-2m)² - 4(2/3)(2m+3) = 4m² - 32m/3 - 24/3 = 4m² - (32m + 24)/3.

Để delta ≤ 0, ta cần giải phương trình: 4m² - (32m + 24)/3 ≤ 0.

Đặt f(m) = 4m² - (32m + 24)/3.

Để tìm các giá trị nguyên của m thỏa mãn f(m) ≤ 0, ta cần xác định khoảng giá trị của m.

Để f(m) ≤ 0, ta cần xác định khoảng giá trị của m sao cho f(m) ≤ 0.

Ta có:
f'(m) = 8m - 32/3.

Để tìm điểm cực trị của f(m), ta giải phương trình f'(m) = 0:
8m - 32/3 = 0
8m = 32/3
m = 4/3.

Ta có bảng biến thiên của f'(m):

-∞ 4/3 +∞
+ - +
f'(m) | 0 | |

Với m < 4/3, f'(m) < 0, nghĩa là f(m) đang giảm trên khoảng (-∞, 4/3).

Với m > 4/3, f'(m) > 0, nghĩa là f(m) đang tăng trên khoảng (4/3, +∞).

Vậy, f(m) đạt giá trị nhỏ nhất tại m = 4/3.

Ta có bảng giá trị của f(m):

-∞ 4/3 +∞
+ - +
f(m) | - | +

Với m < 4/3, f(m) < 0, nghĩa là f(m) ≤ 0 trên khoảng (-∞, 4/3).

Với m > 4/3, f(m) > 0, nghĩa là f(m) > 0 trên khoảng (4/3, +∞).

Vậy, các giá trị nguyên của m để hàm số y = 1/3x² - mx² + (2m+3)x + 1 đồng biến trên R là m ≤ 0.