Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A

Để chứng minh a/ Góc DHE = 90 độ, ta sẽ sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ngoại tiếp.

Gọi I là giao điểm của BD và CE. Ta có:
- Góc BAC là góc ngoại tiếp của tam giác ABC nên góc BAC = góc BIC (1)
- Góc BDC là góc nội tiếp của tam giác BOC nên góc BDC = góc BOC (2)
- Góc BEC là góc nội tiếp của tam giác BOC nên góc BEC = góc BOC (3)

Từ (2) và (3), suy ra góc BDC = góc BEC (4)

Do DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (D thuộc (O), E thuộc (O')), nên góc DCE = góc DHE (5)

Từ (1), (4) và (5), ta có:
góc BAC = góc BIC = góc BDC = góc BEC = góc DCE = góc DHE

Vậy góc DHE = 90 độ.

Để chứng minh b/ HA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ngoại tiếp.

Gọi F là giao điểm của HA và (O). Ta có:
- Góc BAC là góc ngoại tiếp của tam giác ABC nên góc BAC = góc BFC (6)
- Góc BDC là góc nội tiếp của tam giác BOC nên góc BDC = góc BOC (7)

Từ (6) và (7), suy ra góc BFC = góc BOC

Do (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, nên góc BAC = góc BCA = góc BFC = góc BOC

Vậy HA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.