Cho tam giác ABC, biết AB = 15 cm; AC = 20 cm; HC = 16 cm. Kẻ đường cao AH = 12cm. a) Tính số đo góc CAH? độ dài HB?; b) Chứng tỏ: tam giác ABC vuông tại A. c) Kẻ HF vuông góc với AC. Chứng minh: AF. AC = HB.HC

a) Để tính số đo góc CAH, ta sử dụng định lí cosin trong tam giác vuông AHG:
cos(CAH) = AH/AC = 12/20 = 0.6
Vậy góc CAH có số đo là arccos(0.6) ≈ 53.13°.

Độ dài HB có thể tính bằng định lí Pythagoras trong tam giác vuông AHG:
HG^2 = AH^2 + HG^2
HG^2 = 12^2 + 16^2
HG^2 = 144 + 256
HG^2 = 400
HG = √400 = 20
Vậy độ dài HB là 20 cm.

b) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC và HB là cạnh huyền của tam giác vuông AHG. Vì HB = HG, nên tam giác AHG là tam giác vuông cân. Do đó, góc AHG = 45°. Vì góc AHG là góc nội tiếp của tam giác ABC, nên góc ABC = 90°. Vậy tam giác ABC vuông tại A.

c) Ta cần chứng minh AF . AC = HB . HC.
Ta có:
AF = AH - HF = 12 - HF
AC = AH + HC = 12 + 16 = 28
HB = HG = 20
HC = 16
Vậy cần chứng minh (12 - HF) . 28 = 20 . 16.
Mở ngoặc và rút gọn, ta có:
336 - 28HF = 320
28HF = 16
HF = 16/28 = 4/7
Vậy ta có: AF . AC = (12 - HF) . 28 = (12 - 4/7) . 28 = 8/7 . 28 = 32
HB . HC = 20 . 16 = 320
Vậy ta có AF . AC = HB . HC, điều phải chứng minh.