1) Để chứng minh rằng phân số 5n+3 / 3n+2 là phân số tối giản, ta cần chứng minh rằng 5n+3 và 3n+2 không có ước chung ngoài 1.

Giả sử có một số nguyên dương k khác 1 là ước chung của cả 5n+3 và 3n+2. Khi đó, ta có:
5n+3 = k * a (1)
3n+2 = k * b (2)
với a và b là các số nguyên.

Từ (1), ta có:
5n = k * a - 3
n = (k * a - 3) / 5

Thay n vào (2), ta có:
3 * (k * a - 3) / 5 + 2 = k * b
3k * a - 9 + 10 = 5k * b
3k * a + 1 = 5k * b

Từ đây, ta thấy rằng 5k là ước chung của cả 3k * a + 1 và 5k * b. Nhưng vì p là số nguyên tố, nên 5k không thể là ước chung của hai số này. Điều này mâu thuẫn với giả định ban đầu, do đó ta kết luận rằng 5n+3 và 3n+2 không có ước chung ngoài 1.

Vậy, phân số 5n+3 / 3n+2 là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n.

2) Để xác định xem 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số, ta có thể áp dụng định lý Fermat nhỏ.

Theo định lý Fermat nhỏ, nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Ứng dụng định lý Fermat nhỏ vào bài toán này, ta có:
(2p + 1)^(2p) ≡ 1 (mod (2p + 1))

Vì (2p + 1) không chia hết cho 2p + 1, nên ta có:
(2p + 1)^(2p) - 1 ≡ 0 (mod (2p + 1))

Biểu thức trên có thể viết lại thành:
[(2p + 1)^p]^2 - 1 ≡ 0 (mod (2p + 1))

Ta nhận thấy rằng (2p + 1)^p - 1 chia hết cho 2p + 1, do đó:
[(2p + 1)^p]^2 - 1 chia hết cho 2p + 1

Vậy, 4p + 1 là hợp số với p > 3.