Để 2x + 5/x + 1 thuộc Z, ta cần xác định điều kiện để tử số và mẫu số đều là số nguyên.

Điều kiện để tử số là số nguyên:
2x + 5 là số nguyên.

Điều kiện để mẫu số là số nguyên:
x + 1 là số nguyên và x + 1 ≠ 0 (vì không thể chia cho 0).

Vậy, ta cần tìm các giá trị của x sao cho 2x + 5 và x + 1 đều là số nguyên và x + 1 ≠ 0.

Ta có thể giải hệ phương trình sau:
2x + 5 = k(x + 1), với k là một số nguyên.

Mở ngoặc và rút gọn:
2x + 5 = kx + k
2x - kx = k - 5
x(2 - k) = k - 5
x = (k - 5)/(2 - k)

Để x là số nguyên, ta cần điều kiện:
2 - k = ±1, ±5

Giải các trường hợp:
1) 2 - k = 1
k = 1
x = (1 - 5)/(2 - 1) = -4

2) 2 - k = -1
k = 3
x = (3 - 5)/(2 - 3) = 2

3) 2 - k = 5
k = -3
x = (-3 - 5)/(2 + 3) = -8/5 (không là số nguyên)

4) 2 - k = -5
k = 7
x = (7 - 5)/(2 + 5) = 2/7 (không là số nguyên)

Vậy, số nguyên x để 2x + 5/x + 1 thuộc Z là x = -4 và x = 2.